2027다변수 42강 3:00 답변완료조**2026.07.17 ㅣ 13 |
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살짝 헷갈리네용..예제193번에 있는 F는 우선 원점에서 연속성이 깨지므로 포텐셜함수가 존재하더라도 '선적분의 기본정리'를 못쓰는거 아닌가요..?( yi+xj/ x^2+y^2) 꼴만 아니면 그냥 연속 깨져도 포텐셩 함수가 있으면 기본정리를 활용해 풀어도 되나요?
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| [답변완료] 2026.07.17 |
안녕하세요 오태훈 선생님 조교입니다.
결론부터 말씀드리면, 적분 경로인 곡선 C가 원점을 지나지 않기 때문에 포텐셜 함수가 존재한다면 선적분의 기본정리를 사용할 수 있어요.
선적분의 기본정리를 적용할 때 가장 중요한 것은 '적분 경로(곡선 C)' 위에서 포텐셜 함수 f(x, y)가 연속이고 미분 가능한지 여부예요. 이 문제에서 주어진 곡선 C는 r = 3 + 2sin3θ로, r의 최솟값이 1이기 때문에 원점(0, 0)을 지나지 않아요. 즉, 원점에서 연속성이 깨지더라도 우리가 실제로 적분하는 경로 위에서는 벡터장 F와 포텐셜 함수 f(x, y) = -y/(x^2 + y^2)가 아무런 문제 없이 잘 정의되고 연속이에요. 따라서 선적분의 기본정리를 사용할 수 있고, 폐곡선이므로 f(종점) - f(시점) = 0이 됩니다.
소용돌이 벡터장 꼴인 (-y i + x j)/(x^2 + y^2)에서는 원점을 포함하는 폐곡선일 때 선적분의 기본정리를 함부로 쓰면 안 된다고 생각하신 것은 아주 정확한 지적이에요.
추가로 더 설명을 드려보자면, 두 벡터장의 결정적인 차이는 포텐셜 함수가 '단일가 함수'인지 여부에 있어요.
소용돌이 벡터장의 포텐셜 함수는 각도 θ와 관련된 arctan(y/x) 꼴이 되는데, 이 각도 함수는 원점을 한 바퀴 돌 때 값이 2π만큼 커지는 성질이 있어요. 즉, 시점과 종점이 기하학적으로는 같은 점이어도 한 바퀴 돌고 나면 포텐셜 함수의 값이 달라져서 선적분 값이 0이 되지 않아요.
반면, 이 문제의 포텐셜 함수 f(x, y) = -y/(x^2 + y^2)는 원점을 제외한 영역에서 값이 오직 하나로만 결정되는 단일가 함수예요. 원점을 감싸며 한 바퀴 돌아 제자리로 오더라도 f의 값은 처음과 완전히 같기 때문에 선적분 값이 확실하게 0이 되는 거예요. |
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