2027다변수 41강 12:00 답변완료조**2026.07.17 ㅣ 16 |
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예제 191에 있는 F가 곡선이 원점을 포함할때는 보존적이지 않고 한 사분면만 포함할때는 보존적이라고 (제가 이해한게 맞나요..ㅎㅎ) 하셨는데 만약 2개의 사분면 (ex. 1,4분면) 에 곡선이 걸쳐진 상태라면 F는 보존적이라고 할수 없겠죠?
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| [답변완료] 2026.07.17 |
안녕하세요 오태훈 선생님 조교입니다.
결론부터 말씀드리면, 원점을 포함하지 않고 1사분면과 4사분면에 걸쳐 있는 곡선이라면 그 곡선이 속한 영역에서 F는 보존적 벡터장이라고 할 수 있어요.
보존적 벡터장인지 판단할 때 가장 중요한 기준은 원점(0,0)을 제외하면서 구멍이 없는 단일 연결 영역을 만들 수 있는가예요. 1사분면과 4사분면을 합친 영역(x > 0 인 영역)은 원점을 포함하지 않으면서 중간에 구멍도 뚫려 있지 않은 단일 연결 영역이에요. 이 영역 안에서는 curl F, 즉 dQ/dx - dP/dy 의 값이 항상 0이 되므로 F는 보존적 벡터장이 맞아요. 따라서 이 영역 안에서 그려지는 임의의 폐곡선에 대한 선적분 값은 0이 돼요.
추가로 더 설명을 드려보자면, 꼭 한 사분면에만 갇혀 있어야 보존적인 것은 아니에요. 원점을 한 바퀴 완전히 둘러싸는 폐곡선이 아니라면, 원점을 지나지 않는 임의의 반직선(예를 들어 음의 x축)을 잘라내어 원점을 포함하지 않는 단일 연결 영역을 언제든지 만들 수 있어요. 그렇기 때문에 원점을 품고 한 바퀴 도는 경로만 아니라면, 여러 사분면에 걸쳐 있더라도 그 곡선을 포함하는 영역을 단일 연결 영역으로 잡아서 F를 보존적 벡터장으로 취급할 수 있어요. |
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