파이널모의고사27 2회 고려대 13번 답변완료조**2026.11.11 ㅣ 3 |
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여기서 스토정리를 이용해서 z=0인 평면에 곡면을 눌러서 푼다고 했을때 주어진 벡터장이 (0, 0, 0)에서 문제가 생기므로 구멍을 뚫고 풀어야 하나요?
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| [답변완료] 2026.11.11 |
안녕하세요 오태훈 선생님 조교입니다.
z=0인 원판 전체로 바꾸어 스토크스 정리를 적용하려면 원점의 특이점을 반드시 따로 처리해야 해요. G=(1,1,1)/√(x²+y²+z²)가 원점에서 정의되지 않으므로, 원판 전체에 곧바로 정리를 적용할 수는 없어요.
다만 이 문제는 원래 곡면 S에 스토크스 정리를 적용해서 경계선 적분으로 계산하면 구멍을 뚫을 필요가 없어요. S는 원기둥의 옆면과 윗면이어서 원점을 포함하지 않고, G는 S 주변에서 매끄럽게 정의돼 있어요.
S의 경계 C는 z=0, x²+y²=1인 원이고, 주어진 바깥쪽 방향에 따른 C의 방향은 위에서 보았을 때 반시계방향이에요. 이 원 위에서는 G=(1,1,1)이므로
∬ₛ F·dS = ∮꜀ G·dr = ∮꜀ (dx+dy+dz) = 0이에요.
닫힌 곡선을 한 바퀴 돌면 각 좌표의 변화량이 0이기 때문이에요.
꼭 평면에서 계산하려면 반지름 ε인 작은 원판을 빼고 고리 영역에 정리를 적용해야 해요. 이때 새로 생긴 안쪽 경계의 선적분도 함께 고려해야 하고, 단순히 구멍만 빼고 무시하면 안 돼요. 이 문제에서는 작은 원 위에서도 G=(1,1,1)/ε가 일정하고 dz=0이라 그 선적분이 정확히 0이에요. 따라서 작은 원을 제거한 영역으로 계산해도 최종 결과는 0이에요.
즉, 원판 전체에 바로 적용하는 것은 조건상 문제가 있지만, 원래 곡면에서 경계선 적분으로 바꾸는 것은 정상적으로 가능해요. |
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